Diagramas de polos y ceros

La ecuación 6.4 muestra la función de transferencia $H(z)$ de un filtro escrita en términos de ceros y polos. El término cero se refiere al número mientras la palabra polo es una traducción del inglés pole, que podría traducirse como palo. Estos términos adquieren sentido cuando se grafica la magnitud de $H(z)$ como una función de la frecuencia compleja $z$. Esto se realiza en lo que se denomina el plano-$z$, que es simplemente un plano donde el eje de ordenadas representa los números reales y el eje de abscisas números puramente imaginarios. Dado que $z$ es una variable compleja, ésta puede graficarse como un vector que parte desde el origen y cuya distancia al origen representa su magnitud mientras su ángulo respecto al eje de los números reales representa la fase.

Figura 6.8: El plano z

La magnitud de $H(Z)$ es real y puede interpretarse como la distancia sobre el plano-$z$, mostrado en la figura 6.8. El gráfico de $H(Z)$ aparece entonces como una superficie infinitamente delgada que se extiende en todas las direcciones del plano. Los ceros son puntos donde la superficie casi toca el plano-$z$. Por el contrario, los polos representan puntos donde ésta superficie alcanza una gran altitud y se hacen cada vez más angostos a medida que se alejan del plano.

Este tipo de diagrama resulta útil porque muestra una representación gráfica tanto de la respuesta de amplitud como de fase de un filtro digital. Todo lo que se necesita conocer son los valores de los polos y ceros para poder estimar en forma gráfica la respuesta de fase y magnitud.

Figura 6.9: Estimación de la respuesta de amplitud mediante un diagrama de polo y ceros

Figura 6.10: Estimación de la respuesta de fase mediante un diagrama de polo y ceros

La magnitud de la respuesa de frecuencia, o respuesta de amplitud para cada frecuencia está dada por el producto de las magnitudes de los vectores dibujados desde los ceros hacia el círculo unitario divivido por el producto de las magnitudes de los vectores dibujados desde los polos hacia el círculo unitario.

La respuesta de fase de obtiene dibujando líneas desde todos los polos y ceros hacia el círculo unitario, tal como se muestra en la figura 6.10. Los ángulos de las líneas de los ceros se suman y los ángulos de las líneas de los polos se restan.