Ecuación de diferencias

En forma general, cualquier filtro digital puede ser descrito por la siguiente ecuación de diferencias:

$$y(n) = \sum_{i=0}^{M}b_{i}x(n-i) - \sum_{k=1}^{N}a_{k}y(n-k)$$ (8.1)

De esta ecuación se concluye que lo único que se necesita para implementar un filtro digital son sumas (o restas), multiplicaciones y retrasos, ya que nos dice que la salida del filtro depende de versiones presentes y pasadas de la entrada menos versiones pasadas de la salida. El índice $n$ es un número entero que representa unidades discretas y los números $a_{k}$ y $b_{i}$ se denominan los coeficientes del filtro. Los coeficientes $a_{k}$ multiplican a valores pasados de la salida y los coeficientes $b_{i}$ a valores pasados de la entrada. Si todos los coeficientes $a_{k}$ son cero, entonces el filtro sólo depende de valores pasados y presentes de la entrada y se trata de un filtro no recursivo o FIR. Si los valores $a_{k}$ no son todos nulos, entonces se trata de un filtro recursivo o IIR.