Respuesta al impulso y respuesta de frecuencia

Para estudiar el comportamiento de un sistema sistema lineal e invariante se utilizan normalmente dos tipos de entradas, dado que cualquier tipo de entrada puede ser descompuesta en señales más elementales y por lo tanto la respuesta total del sistema puede calcularse mediante el principio de superposición, si es que se conoce su respuesta a cada una de estas señales elementales.

Figura 1.12: Respuesta al impulso

La respuesta al impulso corresponde a la respuesta de un sistema a un impulso cuando el sistema se encuentra en estado de reposo. Un impulso, definido en la ecuación 1.27 es una función matemática abstracta que tiene una amplitud infinita y una duración casi cero. Por una propiedad matemática llamada propiedad del cedazo, se puede demostrar que cualquier función puede descomponerse en una suma de impulsos. Dado que la transformada de Fourier de un impulso de una función constante en la frecuencia, esta señal es ideal para estudiar sistemas, ya que permite estimar la respuesta de un sistema cualquiera a señales con un contenido de frecuencias previamente determinado.

Otra respuesta muy utilizada para diseñar sistemas es la respuesta de frecuencia, que se define como la respuesta del sistema en el dominio de la frecuencia. Esta respuesta puede calcularse como la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, o bien puede medirse o estimarse directamente, si se utilizan como entrada señales de tipo sinusoidal. Dado que cualquier señal puede descomponerse, de acuerdo a la serie o transformada de Fourier, en muchas sinusoides individuales, la respuesta total del sistema puede calcularse mediante el principio de superposición.

En el ámbito de los sistemas digitales, dado que un impulso es una abstracción matemática no posible de representar en un computador, un impulso se implementa como una secuencia de números con valor cero salvo una sola muestra que toma el valor uno. Un tren de impulsos, en cambio, es una secuencia de muestras todas con valor unitario. La figura 1.12 muestra en forma gráfica la relación entre la respuesta al impulso y la respuesta de frecuencia de un sistema digital o filtro.

El estudio de la respuesta de frecuencia de un sistema, es clave en la teoría y diseño de los filtros digitales, la cual se detalla en el capítulo 6. Si se conoce la respuesta al impulso, basta realizar una operación matemática denominada convolución (ver ecuación 6.5) entre una señal de entrada cualquiera y la respuesta al impulso para obtener la respuesta del sistema a esa entrada.