Series de Fourier

En 1811, el matemático Jean Baptiste Fourier demostró que cualquier señal periódica razonable puede expresarse como la suma de una o más sinusoides de distinta frecuencia, fase y amplitud. Se entiende por una señal razonable, una que posee valores máximos menores que infinito y un número finito de saltos en un período.

Estas sinusoides están armónicamente relacionadas entre sí, es decir, sus frecuencias son múltiplos enteros de una frecuencia fundamental. Esta suma ponderada de señales sinusoidales se conoce como Serie de Fourier. La serie de Fourier de una señal periódica $f(x)$ de período $T_{0}$ puede escribirse como:

$$f(x) = a_{0}+\sum_{k=1}^\infty (a_{k}\cos(k w_{0}x)+b_{k}\sin(k w_{0}x))$$ (3.22)

donde $w_{0}$ es la frecuencia fundamental ( $w_{0}=2\pi/T_{0}$) y los coeficientes $a_{0}$,$a_{k}$ y $b_{k}$ constituyen un conjunto de números asociados unívocamente con la función f(x). Esta forma de escribir la serie de Fourier se conoce como forma trigonométrica.

Utilizando las ecuaciones de Euler 1.14 y 1.15, se puede escribir la serie de Fourier en forma más compacta como:

$$f(x) = \sum_{k=-\infty}^\infty C_{k}e^{ikw_{0}x}$$ (3.23)

Esta forma de escribir la ecuación se conoce como forma compleja.

La ecuación 1.22 nos dice que para cualquier señal periódica $f(x)$ pueden encontrarse coeficientes $a_{0},a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},...$ tales que multiplicados por sinusoides de frecuencias $w_{0},2w_{0},3w_{0},...$ den como resultado la función $f(x)$ cuando estas sinusoides se suman.

En palabras más simples, toda función periódica de frecuencia $w$, cualquiera sea su naturaleza, está compuesta por la suma de varias sinusoides de frecuencias mayores o iguales a $w$, cada una de las cuales tiene distinta amplitud, frecuencia y fase. Las frecuencias involucradas están armónicamente relacionadas entre sí.

Lo anterior implica dos cosas:

1. Si se toman varias sinusoides de distintas frecuencias, fases y amplitudes y se suman, se obtendrá una señal periódica.
2. Dada una señal periódica $f(x)$ cualquiera, ésta siempre podrá descomponerse en sus componentes de frecuencia, mediante la determinación de las sinusoides que la conforman. Si se grafican las frecuencias de estas sinusoides versus la amplitud de cada una de ellas, dicho gráfico se conoce como espectro de frecuencias (ver sección 1.2.4).

La figura 1.7 muestra a varias sinusoides de frecuencias relacionadas y su suma. Allí puede observarse que al sumar estas sinusoides se obtiene una nueva forma de onda de frecuencia igual a la frecuencia de la onda fundamental. Esto nos permite comprobar de manera empírica el descubrimiento de Fourier.

Figura 1.7: Suma de señales armónicas

La serie de Fourier se presenta en forma natural en la mayoría de los instrumentos musicales. Esto se conoce como la serie armónica y constituye el principio básico de ejecución de algunos instrumentos como la trompeta o tuba. En la figura 1.8 se muestra la serie armónica en notación musical. Cuando uno toca, por ejemplo, la nota Do en el piano

Figura 1.8: La serie armónica