Diseño de filtros IIR

Los filtros IIR pueden tener polos (debido a la retroalimentación) y ceros, y las técnicas de diseño difieren enteramente de las técnicas para diseño de filtros FIR. Los métodos directos de diseño se llevan a cabo en el plano complejo discreto $Z$, y los métodos indirectos empiezan en el plano análogo o continuo $S$, para ser transformados después al plano-$Z$. Las técnicas son indirectas son las más utilizadas y por lo general entregan mejores resultados.

Entre las técnicas directas se encuentran el posicionamiento ad-hoc de polos y zeros con el subsiguiente análisis de frecuencia, análisis en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. En el dominio del tiempo, se transforma la respuesta de frecuencia de un filtro ideal $H(Z)$ en su respuesta al impulso y se resuelve un sistema de ecuaciones de $N$ coeficientes de manera de minimizar el error cuadrático medio. En el dominio de la frecuencia, le objetivo es mapear una respuesta de frecuencia ideal hacia una estructura IIR.

Las técnicas indirectas implican el diseño de un filtro analógico apropiado en el plano $S$ y luego mapear desde éste al plano discreto $Z$, usando las siguientes transformaciones:

$$Z = e^{sT_{s}}$$ (8.11)

$$s = \frac{1}{T_{s}}\ln(Z)$$ (8.12)

El logaritmo natural presenta un problema cuando se trata de mapear desde el plano $S$ al $Z$. Una solución muy utilizada es expandir $\ln(Z)$ como una serie y truncar el primer elemento. Una vez hecho esto, hay dos técnicas que permiten generar la transformada $Z$: la transformada bilinear y la diferencia hacia atrás (backward difference), de la cual la más utilizada es la transformada bilinear.