Relación entre sinusoides y exponenciales

Existen dos relaciones muy importantes para el análisis de señales y para el Teorema de Fourier, llamadas ecuaciones de Euler . Estas son:

$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$ (3.14)

$$e^{-ix} = \cos(x) - i\sin(x)$$ (3.15)

Esta ecuación nos dice que las exponenciales y las sinusoides están íntimamente relacionadas. En la ecuación 1.14, el número i representa al número imaginario y que está definido por la relación:

$$i = \sqrt{-1}$$ (3.16)

El número imaginario $i$ tiene una importancia fundamental en el análisis de frecuencia de una señal, fundamentalmente porque, tal como se verá en forma siguiente, las sinusoides pueden representarse y manejarse en forma más compacta si se utilizan números complejos. Los números complejos están constituidos por un par ordenado de números, uno real y otro imaginario, y usualmente se grafican en lo que se denomina el plano complejo, mostrado en la figura 1.6, donde el eje de ordenadas representa los números reales y el eje de absisas los imaginarios. En este plano un número complejo es un vector que se puede representar de dos formas: cartesiana y polar. En la forma cartesiana, un número complejo $Z$ se representa como la suma de su parte real con su parte imaginaria o bien $Z = x + iy$. Pero el mismo número se puede representar mediante el largo del vector y su ángulo, lo que se denomina forma polar. En este caso se tiene $Z=r\angle\Theta$, donde $r$ es el módulo o magnitud del número complejo y que también suele representarse como $\vert Z\vert$.

Figura 1.6: El plano complejo

Ambas representaciones están relacionadas por las siguientes ecuaciones:

$$r =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$$ (3.17)

y

$$\theta=\arctan\left( \frac{y}{x}\right)$$ (3.18)

La ecuaciones 1.14 y 1.15 pueden utilizarse para demostrar que:

$$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ (3.19)

y

$$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$ (3.20)

Multiplicando la ecuación 1.14 por una amplitud $A \geq 0$ y utilizando $x=wt+\phi$ se tiene:

$$Ae^{i(wt+\phi)}=A\cos(wt+\phi)+iB\sin(wt+\phi)$$ (3.21)

Esta ecuación describe una sinusoide compleja. Por lo tanto, una sinusoide compleja contiene una parte real coseno y una parte imaginaria seno.

De acuerdo a las ecuaciones 1.19 y 1.20 y dado que $e^{iwt}$ corresponde a una sinusoide compleja (ecuación 1.21), se tiene entonces que toda sinusoide real está compuesta por una contribución equitativa de frecuencias positivas y negativas. Dicho de otra forma, una sinusoide real consiste de una suma de dos sinusoides complejas, una de frecuencia positiva y la otra de frecuencia negativa.

Esto significa que el espectro de frecuencias de una sinusoide o de una función periódica compuesta por sinusoides es simétrico respecto del origen y contiene tanto frecuencias negativas como positivas.

Este hecho es de suma importancia para el análisis de señales y para lo que posteriormente se verá como teorema del muestreo, detallado en la sección 4.1.1.