Transformada de Fourier

Ahora cabe preguntarse ¿qué pasa con las funciones que no son periódicas?

Una forma de extender las series de Fourier a funciones no periódicas, es truncar las señales en un cierto punto y suponer que la zona truncada se repite hasta el infinito desde ahí hacia adelante. Otra forma es suponer que éstas poseen un período infinito y expandir un tanto las ecuaciones para poder trabajar con este tipo de señales. Esto da pie a la transformada de Fourier.

La Transformada de Fourier es una generalización de las Series de Fourier. En rigor, esta transformada se aplica a funciones continuas y aperiódicas, pero también es posible aplicarla a funciones discretas mediante la utilización de funciones impulso (ver sección 1.2.3).

Además, la transformada de Fourier es un subconjunto de la transformada de Laplace, de la cual provee una interpretación más simple. Estas relaciones hacen de la transformada de Fourier una herramienta clave para traducir señales desde los dominios del tiempo a la frecuencia y viceversa.

Matemáticamente, la transformada de Fourier se escribe:

$$F(w) = \int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-iwx}dx$$ (3.24)

donde $w$ denota la frecuencia y $F$ a la transformada. Esta ecuación corresponde a integrar la función $f(x)$ multiplicada por una sinusoide compleja en todo el intervalo de la variable x (desde $-\infty$ hasta $+\infty$).

La transformada inversa, la que permite encontrar $f(x)$ cuando se conoce $F(w)$ está dada por la ecuación:

$$f(x) = \int_{-\infty}^\infty F(w)e^{iwx}dw$$ (3.25)

Utilizando estas relaciones, siempre es posible encontrar una correspondencia entre una función y su espectro o viceversa. Es decir:

$$f(x) \leftrightarrow F(w)$$ (3.26)

La transformada de Fourier nos permite conocer el espectro de frecuencias de cualquier señal $f(x)$, sea ésta periódica o aperiódica y cualquiera sea su naturaleza. Es decir, dada una función $f(x)$ cualquiera, mediante esta transformada podemos saber que frecuencias están presentes en ella.